Il fenomeno del trapping attenua le conseguenze dei punti di non ritorno per i cicli limite | rapporti scientifici

Il fenomeno del trapping attenua le conseguenze dei punti di non ritorno per i cicli limite | rapporti scientifici

Anonim

Soggetti

  • Rischi naturali
  • Transizioni di fase e fenomeni critici
  • Una correzione dell'editore a questo articolo è stata pubblicata il 26 novembre 2018

Astratto

I sistemi dinamici non lineari possono essere esposti a punti di non ritorno, soglie critiche alle quali piccoli cambiamenti negli ingressi esterni o nei parametri del sistema spostano bruscamente il sistema in uno stato alternativo con un comportamento dinamico contrastante. Mentre capovolgere una biforcazione di un equilibrio è ben compreso, molto meno si sa circa il ribaltamento delle oscillazioni (cicli limite) sebbene questa dinamica sia la risposta tipica di molti sistemi naturali a una forzatura esterna periodica, come ad esempio forzatura stagionale in ecologia e clima scienze. Forniamo un'analisi dettagliata dei fenomeni di ribaltamento nei sistemi periodicamente forzati e mostriamo che, quando si considerano i cicli limite, una struttura transitoria, il cosiddetto canale, svolge un ruolo fondamentale nella transizione. Nello specifico, dimostriamo che le traiettorie che attraversano tale canale conservano, per un tempo caratteristico, il comportamento a torsione del ciclo limite stabile distrutto nella piega biforcazione dei cicli. Di conseguenza, questo canale si comporta come un "fantasma" del ciclo limite distrutto nella transizione critica e invece della transizione brusca attesa ne troviamo una regolare. Questa fluidità è anche la ragione per cui è difficile determinare con precisione il punto di transizione utilizzando i soliti indicatori di punti di ribaltamento, come il rallentamento critico e lo sfarfallio.

introduzione

Molti sistemi in natura possiedono una moltitudine di stati stabili coesistenti per un dato insieme di parametri che riflettono le condizioni ambientali. Questo fenomeno chiamato multistabilità è stato studiato per decenni a causa della sua complessità dinamica derivante dalla coesistenza dei diversi stati (per una revisione cfr. Rif. 1 e riferimenti in esso). Esempi possono essere trovati in varie discipline scientifiche, come il riconoscimento di modelli nelle neuroscienze 2, 3, 4, l'ottica non lineare con diversi fenomeni nei laser 5, 6 e i laser accoppiati 7, 8 o manifestati in diversi esiti nelle reazioni chimiche nonostante una grande attenzione realizzare le stesse condizioni iniziali 9, 10 . Poiché la moltitudine di stati coesistenti di solito può essere correlata a diverse prestazioni del sistema, sono state sviluppate varie strategie di controllo per orientare il sistema da uno stato all'altro in un modo prescritto o per evitare stati che corrispondono al comportamento indesiderato di un sistema (per una revisione cfr. rif.11 e riferimenti in essa).

Più recentemente, nell'ultimo decennio, lo studio di sistemi che possiedono solo due stati stabili alternativi ha guadagnato un crescente interesse a causa della loro importanza in particolare nella scienza del clima e nell'ecologia (cfr. Recensioni 12, 13, 14 e riferimenti in essi). È stato riconosciuto che una delle grandi sfide alla scienza consiste nel comprendere le transizioni o i cambiamenti critici nelle dinamiche o nelle proprietà derivanti dai sistemi naturali come risposta al cambiamento globale. Tali transizioni, in ecologia spesso chiamate cambiamenti catastrofici o di regime, sono in generale correlate ai cambiamenti nel dominio di determinate specie con conseguenti servizi ecosistemici diversi o addirittura alla perdita di biodiversità 15, 16 . Stati stabili alternativi più specifici sono stati identificati in diversi ecosistemi limni e marini come foreste di alghe 17, barriere coralline 18, 19, laghi poco profondi 15, prati di alghe marine 20, dove le alternative sono di solito tra il dominio delle specie autoctone come alghe, coralli o alghe e gli stati indesiderati dominati dalle alghe. Anche in ecosistemi terrestri come il Sahara 21 o più ecosistemi semiaridi generali 22, in cui i due stati stabili alternativi sono uno stato vegetato e uno desertico.

Nella scienza del clima, dove queste transizioni sono spesso chiamate punti di non ritorno, diversi componenti del sistema climatico sono stati identificati come potenzialmente vulnerabili rispetto a determinate perturbazioni 12, 23 . Tali elementi di ribaltamento sono correlati a diversi fenomeni climatici come l'oscillazione ElNino-Meridionale 12, il monsone indiano 24, le coperture di ghiaccio artico e antartico 12 . Inoltre, come uno dei primi componenti climatici, è stato scoperto che la circolazione oceanica termoalinea possiede due stati stabili alternativi, uno dei quali legato al clima attuale con un grande trasporto di calore alle latitudini settentrionali e l'altro corrispondente a una chiusura -interruzione della circolazione di conseguenza interrompendo il trasporto di calore 25 . Come parte della circolazione oceanica termoalina, la convezione locale degli oceani profondi è anche vulnerabile a un arresto 26, 27 . Entrambi i processi, l'arresto del THC su scala globale e la convezione degli oceani profondi su scala locale avrebbero un grande impatto sul clima nell'emisfero settentrionale, portando infine a un raffreddamento nell'Europa settentrionale e occidentale. Si prevede che il monsone indiano diventerà più umido o più secco a seconda di quali dei processi responsabili di tali cambiamenti come l'aumento dell'albedo dovuto alla concentrazione di aerosol o il più forte di El Nino, saranno rispettivamente dominanti in futuro 24 . Un altro punto di ribaltamento molto dibattuto riguarda la tendenza delle calotte polari artiche a diventare più sottili e, infine, a portare a uno stato libero dal ghiaccio in estate 28, 29 . Infine, citiamo i diversi approcci per studiare i cambi ricorrenti delle ere glaciali e dei climi più caldi prima dell'Olocene, che sono attribuiti a diversi stati stabili e transizioni tra di loro 30 .

Diversi scenari sono discussi in letteratura che portano a tali transizioni critiche. Da un lato, i cambiamenti nella forzatura ambientale, ad esempio le temperature atmosferiche o i modelli di precipitazione alterati possono indurre tali transizioni raggiungendo una soglia critica in cui uno degli stati perde la sua stabilità e il sistema passa a un altro stato. In termini matematici, questo scenario è legato a una biforcazione; la combinazione di due di tali biforcazioni comprende spesso un'isteresi 31 che consente una commutazione tra due stati alternativi, quando un parametro di controllo viene variato 15 . Quando coesistono due stati stabili, allora una commutazione tra loro è mediata da fluttuazioni che portano a transizioni indotte dal rumore 32, 33 .

A causa delle crescenti preoccupazioni riguardo a tali transizioni critiche sul nostro pianeta terra, c'è un'urgente necessità di identificare l'approccio di un cambio di regime o di un punto critico prima del suo verificarsi. Tali segnali di allerta precoce, se applicabile, possono essere utilizzati per anticipare la transizione e adottare misure per rallentare l'approccio nel caso peggiore o per evitarlo se lo stato alternativo previsto è per qualche motivo indesiderato. Tale evitamento potrebbe non essere sempre possibile, in particolare non nel sistema climatico, ma gli allarmi precoci potrebbero essere utilizzati per intraprendere azioni politiche. Nell'ultimo decennio sono stati sviluppati diversi metodi per ottenere ulteriori approfondimenti su come prevedere bruschi cambiamenti nella dinamica del sistema, indotti dalla sua non linearità. Una delle prime misure identificate è legata al tempo necessario per rispondere alle perturbazioni. Mentre lontano dalla soglia critica, tali perturbazioni si estinguono abbastanza rapidamente, questo smorzamento diventa significativamente più lento in prossimità di una soglia 32, 33 . La perturbazione applicata può essere una singola perturbazione o un certo rumore che è inevitabile negli esperimenti e nei processi naturali. Nel caso di una singola perturbazione prescritta, questa misura è facile da implementare negli esperimenti e quindi ampiamente usata per quantificare la distanza dal valore di soglia.

Nel caso di un sistema rumoroso, l'approccio della soglia critica può essere quantificato aumentando la varianza e l'autocorrelazione 33 . Come secondo effetto, il rumore porta a un processo di commutazione irregolare tra i due (o più) stati stabili alternativi. Questo processo è chiamato sfarfallio 33, 34, attrattore saltando 35 o caotico itinerario 36, 37 a seconda del contesto in cui è studiato. Pertanto, è stato introdotto un secondo indicatore che misura questo processo di sfarfallio o salto, che si verifica in una regione bistabile (o multistabile) nello spazio dei parametri in cui coesistono due o più stati stabili. È importante notare che la dinamica di salto dipende dalla potenza del rumore. Mentre una vasta mole di lavoro è dedicata all'impatto del rumore additivo, molti processi in natura, in particolare negli ecosistemi, sono influenzati dal rumore moltiplicativo, che è stato considerato solo raramente. Va sottolineato che il rumore ambientale nelle dinamiche degli ecosistemi è sempre moltiplicativo e svolge di gran lunga il ruolo più importante 38, 39 . Tuttavia, la maggior parte dei lavori precedenti sugli indicatori delle soglie critiche è limitata al rumore additivo che descrive l'impatto delle fluttuazioni sui processi fisici nel sistema climatico, ma che ha un valore limitato per i problemi ecologici.

Molti sistemi bistabili considerati in natura possiedono due equilibri stabili, ovvero il sistema è stazionario. Per l'esempio sopra citato di laghi poco profondi, l'acqua nel lago perde trasparenza spostandosi bruscamente da uno stato limpido a uno torbido quando viene raggiunta una soglia nel livello dei nutrienti. Come risultato di questo processo di eutrofizzazione, le piante sommerse scompaiono drammaticamente oltre un punto di ribaltamento 15 . Per l'esempio della desertificazione, i modelli di pioggia sono le condizioni ambientali essenziali che determinano il passaggio da una vegetazione perenne attraverso modelli di vegetazione localizzata allo stato di suolo nudo. Inoltre, tenendo conto della pressione del pascolo da parte del bestiame nella zona del Sahel, si riconduce a un passaggio da una vegetazione perenne a una vegetazione annuale 21 . Tuttavia, nell'analizzare il cambio di regime nei rispettivi ecosistemi, l'apporto periodico di nutrienti e precipitazioni dovuto al ciclo stagionale è stato trascurato, ma potrebbe avere anche un impatto importante. Lo stesso argomento si applica all'analisi dei processi fisici nel sistema climatico guidata da cambiamenti periodici o quasi periodici nei parametri orbitali del sole che portano a una variazione dell'insolazione solare con periodi di circa 23.000, 44.000 o 100.000 anni, il pozzo cicli noti di Milankovitch 40 . In particolare, si presume che questi ultimi siano i principali motori dello sviluppo delle ere glaciali prima dell'olocene 30 . Recentemente, queste forzature periodiche che colpiscono l'Albedo della terra sono state studiate per valutare l'impatto di questa variazione sulla copertura di ghiaccio dell'Artico e dell'Antartico 29, 28 .

In questo documento ci concentriamo sui punti di non ritorno e sui cambiamenti di regime dei sistemi periodicamente forzati. In questa classe di sistemi, non si verificano bruschi cambiamenti della dinamica nelle transizioni critiche tra stati stazionari (equilibri), ma tra stati oscillanti (cicli limite). Sebbene a prima vista, le curve di isteresi che di solito sono disegnate per discutere delle transizioni critiche sembrano simili, tuttavia, la dinamica è abbastanza diversa. Per questo scenario mostriamo che una struttura transitoria, un cosiddetto canale, che si verifica nello spazio di stato del sistema oltre il punto di ribaltamento, crea un regime dinamico a breve termine con proprietà specifiche che attenua la criticità della transizione. Il livellamento della transizione è dimostrato calcolando una misura a tempo finito del comportamento a torsione (proprietà di rotazione) dello spazio degli stati che circonda le traiettorie all'interno del dominio del canale. Questa misura indica che le traiettorie che attraversano il canale oltre il punto di ribaltamento hanno proprietà di sistema residue del ciclo limite distrutte in quel punto di ribaltamento. Quindi, il canale funge da "fantasma" del ciclo limite distrutto, mantenendo le traiettorie del sistema in modo molto simile. Questo fatto è dimostrato dall'analisi statistica degli intervalli di tempo trascorsi da traiettorie rumorose nelle vicinanze del ciclo limite (pre-ribaltamento) e del canale (post-ribaltamento). Inoltre, attribuiamo allo stato fantasma la diagnostica inconcludente fornita dalla varianza e dall'autocorrelazione nell'anticipare i punti di ribaltamento.

Indichiamo ora le differenze nell'approccio dinamico per affrontare i cicli limite anziché gli equilibri asintotici. La Figura 1 mostra il tipico diagramma di biforcazione utilizzato per spiegare l'aspetto e la scomparsa della coesistenza di due stati alternativi. Contrariamente ai soliti diagrammi, le linee indicano qui un punto di un ciclo limite anziché punti stazionari. Pertanto, l'asse y non mostra una coordinata dello stato stazionario del sistema, ma una coordinata della sezione di Poincaré, una costruzione speciale che è molto utile per analizzare soluzioni periodiche di sistemi dinamici non lineari (vedi sezione Metodi). La sezione di Poincaré in un sistema periodicamente forzato definisce una mappa stroboscopica in cui il sistema viene sempre analizzato nella stessa fase del forzante, cioè a volte t, t + T, t + 2 T ,

.

. Quindi, un ciclo limite corrisponde a un punto fisso in questa mappa stroboscopica che rende evidente la somiglianza tra la Figura 1 e gli schizzi ben noti di bistabilità nel caso stazionario.

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La coesistenza definisce una regione di parametri bistabili delimitata da due valori di parametro corrispondenti alle biforcazioni di piega, F 1 e F 2, che sono i punti di ribaltamento. Le regioni dei parametri in cui si verifica il fenomeno del rallentamento critico (che fornisce avvisi anticipati per prevedere i punti di ribaltamento) sono indicate in blu. Le regioni di colore verde indicano i parametri in cui si forma un canale associato alle biforcazioni Fold.

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Esistono due biforcazioni nodo-sella o piega di cicli limite indicati da F 1 e F 2, in cui due cicli limite, uno stabile e uno instabile, emergono o scompaiono. Attraversando quei punti di non ritorno, la dinamica cambierà radicalmente. Aumentando il valore del parametro p , la continuazione del ciclo limite sul ramo superiore si arresterà bruscamente su F 2 e passerà a un comportamento periodico corrispondente al ramo inferiore, mentre diminuendo il parametro p e continuando il ramo inferiore si otterrà una transizione verso quello superiore alla soglia critica F 1 . Il nostro obiettivo principale risiede nell'analisi delle regioni attorno a quelle transizioni critiche. In primo luogo, ci rivolgiamo alla domanda fino a che punto i soliti criteri di rallentamento critico e sfarfallio segnaleranno l'approccio alla transizione (regione blu). In secondo luogo, mostriamo che le transizioni critiche sono nascoste a causa di particolari strutture nello spazio degli stati, i cosiddetti canali, che appaiono in prossimità delle pieghe biforcazioni dei cicli limite, impedendo una chiara identificazione delle transizioni critiche.

risultati

Per illustrare i nostri risultati, impieghiamo un sistema modello paradigmatico, il noto oscillatore di Duffing 41 e applichiamo una forzatura periodica con ampiezza A e frequenza ω . In termini matematici, questo semplice sistema dinamico recita:

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Il parametro d è l'ampiezza dello smorzamento del sistema. Il parametro σ controlla l'intensità del rumore data dalla forzatura stocastica ξ ( t ). La funzione ξ ( t ) rappresenta la media zero normale e il rumore di varianza dell'unità con

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. Usiamo un metodo Runge-Kutta del quarto ordine per integrare l'Eq. (1), in questo processo, il tempo viene misurato in funzione del periodo di forzatura esterna, ovvero T = 2 π / ω .

In un certo intervallo di parametri, il sistema descritto dall'Eq. (1) presenta uno scenario generico di bistabilità tra due diversi cicli limite, ovvero esistono due soluzioni periodiche stabili separate da una instabile di carattere sella. Il diagramma di biforcazione corrispondente è mostrato nel pannello superiore della Fig. 2. Sebbene questo diagramma sia molto simile al diagramma generale rappresentato nella Fig. 1, mostra solo una sezione di Poincaré dei cicli limite stabili che si verificano per il sistema descritto dall'Eq. (1). Per caratterizzare questi cicli limite in modo più dettagliato, calcoliamo i numeri di avvolgimento generalizzati (GWN) per ciascuno di essi lungo l'intervallo di parametri bistabili, i risultati sono rappresentati nel pannello inferiore della Fig. 2. In questo pannello, la GWN è rappresentata da w , questa misura quantifica la torsione asintotica del locale in prossimità dei cicli limite, una migliore descrizione di questa misura è data nei Metodi.

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Diagramma di biforcazione (superiore) dell'oscillatore senza rumore ( σ = 0) che mostra una bistabilità dei cicli limite. I diversi colori, blu e giallo, rappresentano ciascun ciclo limite, S 2 e S 1, rispettivamente. La variabile di stato

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è la mappa a T della variabile del ciclo limite,

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. I punti F 1 e F 2 indicano i parametri in cui si verifica uno spostamento catastrofico, A 1 c = 17.2295 e A 2 c = 8.2250 sono i corrispondenti valori dei parametri critici. Gli altri parametri di sistema sono definiti in d = 0, 3, ω = 0, 5. (In basso) I numeri di avvolgimento generalizzato asintotico, w , di ciascun ciclo limite nell'intervallo di parametri. I colori corrispondono ai rispettivi cicli limite.

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Il diagramma di biforcazione di Fig. 2 (Superiore) mostra la dipendenza dell'oscillatore Duffing privo di rumore dall'ampiezza di forzatura A. Due cicli limite stabili, S 1 (blu) e S 2 (giallo), coesistono per una gamma di parametri delimitati da due biforcazioni di cicli limite nei punti F 1 e F 2 (punti di ribaltamento). Pertanto, il sistema è soggetto a cambiamenti catastrofici, punti di ribaltamento, poiché il parametro A raggiunge i punti A 1 c o A 2 c . Cerchiamo ora di verificare se il coefficiente di autocorrelazione a ritardo-1 e la varianza del sistema indicano l'approccio della transizione critica e possono servire come avvertimenti iniziali. A tal fine, applichiamo ora il rumore al sistema e mostriamo il comportamento risultante in Fig. 3. Concentriamo la nostra analisi sulla regione dei parametri vicino ad A ~ A 1 c . Quindi, in Fig. 3, invertiamo l'asse x per studiare meglio la transizione critica al parametro A 1 c . In Fig. 3 (Pannello superiore), la linea nera indica l'evoluzione temporale di una traiettoria rumorosa con il parametro A che varia nello stesso intervallo del diagramma di biforcazione indicato anche in questo pannello. In Fig. 3 (pannello centrale), mostriamo l'autocorrelazione a lag-1, una misura che di solito aumenta con l'approccio delle transizioni critiche dei sistemi in equilibrio. In questo pannello, per i cicli limite, verifichiamo un improvviso aumento del coefficiente di autocorrelazione non appena la traiettoria rumorosa inizia a tremolare tra i cicli limite stabili. Ma successivamente, diminuisce quando il sistema si avvicina alla soglia critica e non mostra alcun cambiamento significativo quando viene superata la soglia critica A 1 c . Un comportamento simile si osserva per la deviazione standard della traiettoria rumorosa, mostrata in Fig. 3 (Pannello inferiore). Pertanto, scopriamo che i soliti indicatori delle transizioni critiche tra equilibri potrebbero non funzionare per i cicli limite. Invece osserviamo un continuo decremento del coefficiente di autocorrelazione e della varianza, non adatto a servire come segnale di allarme precoce. Per spiegare questo comportamento, esaminiamo più in dettaglio la struttura dello spazio degli stati che si verifica per i parametri che hanno avuto successo alla biforcazione della piega in A 1 c .

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(Superiore) La linea nera indica l'evoluzione temporale di una traiettoria rumorosa per il livello di rumore fissato a σ = 0, 02. L'ampiezza forzante, A , è variata linearmente attraverso il diagramma di biforcazione che la mappa a T del ciclo limite asintotico silenzioso è rappresentata dai colori blu e giallo (Stesso diagramma di biforcazione di Fig. 2 (Alto)). (Medio) I punti neri rappresentano il coefficiente di autocorrelazione in ritardo-1 quando l'ampiezza di forzatura si avvicina al valore critico A 1 c . (In basso) I punti neri rappresentano la deviazione standard del valore medio delle serie temporali rumorose.

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Le biforcazioni pieghevoli dei cicli limite sono accompagnate dalla formazione di canali nello spazio degli stati attraverso i quali la traiettoria deve passare dopo essere entrati. Per illustrare questo comportamento che è stato descritto per la prima volta da Manneville 42, 43 nel contesto dell'intermittenza nella turbolenza, mostriamo in Fig. 4 il principio generico dietro la formazione di quel canale. Come indicato sopra, un ciclo limite corrisponde a un punto fisso nella sezione Poincaré. Nel nostro caso, un punto x n nella sezione Poincaré viene mappato sul punto successivo x n +1 mappando stroboscopicamente il ciclo limite ad ogni periodo del forzante, quindi i punti fissi vengono mappati sulla diagonale x n +1 = x n del diagramma x n +1 × x n mostrato in Fig. 4. Nella regione bistabile abbiamo tre punti fissi, due stabili e uno instabile che separa i primi due (Fig. 4, pannello di sinistra). Quando viene raggiunta la biforcazione della piega, il ciclo limite stabile e instabile si fondono e formano un punto ellittico (pannello centrale), mentre oltre la biforcazione della piega appare un canale nello spazio di stato attraverso il quale la traiettoria si sposta quando si avvicina alla regione nello spazio di stato dove precedentemente sono stati individuati i due cicli limite. Senza rumore, la traiettoria alla fine converrebbe nell'unico ciclo limite stabile rimasto nel sistema, indicato da S 1 . A causa del rumore, la traiettoria viene rimandata al canale di volta in volta e si sposta continuamente attraverso di essa. Come conseguenza di questo comportamento, osserviamo anche oltre la piega biforcata, che la dinamica ritorna al "fantasma" del ciclo limite manifestato come canale. La dinamica risultante contiene fasi in cui la traiettoria è vicina al "fantasma" e fasi in cui si avvicina all'unico ciclo limite stabile ma di nuovo espulso dal rumore. In questo modo, la dinamica dello sfarfallio continua anche se il sistema è ben oltre la transizione critica. Per lo stesso motivo, gli indicatori ampiamente utilizzati per le transizioni critiche come la funzione di autocorrelazione lag-1, la varianza e lo sfarfallio non possono segnalare l'approccio alla transizione critica e i punti di spostamento o di ribaltamento avvengono senza preavviso. Nel nostro caso, le caratteristiche degli indicatori critici di rallentamento assomigliano al caso di una transizione graduale analizzata nel rif. 44. Inoltre, notiamo che la dinamica prima e oltre la transizione critica è essenzialmente la stessa, caratterizzata dal salto tra i due stati stabili prima e tra il singolo stato stabile e il "fantasma" oltre il punto di ribaltamento. Questo comportamento è generico e si verificherà per tutte le biforcazioni di piega dei cicli limite che formano un canale dopo la biforcazione.

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( a ) Due punti fissi del tipo di nodo ( S 1 e S 2 ) coesistono con una sella. Le frecce nere indicano come le condizioni iniziali si comportano dinamicamente nelle vicinanze di ciascun punto fisso. ( b ) Quando un parametro di sistema viene variato, il nodo S 2 e la sella si scontrano formando un punto ellittico E (nodo a sella o biforcazione piega). ( c ) Mentre il parametro attraversa il parametro critico della biforcazione, le condizioni iniziali (frecce) che un tempo appartenevano al dominio di attrazione del nodo estinto S 2 ora stanno convergendo al nodo S 1 attraverso un canale formato nella mappatura.

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Parliamo ora del comportamento post-ribaltamento in modo più dettagliato. Per dimostrare che effettivamente il canale è la struttura più essenziale nello spazio degli stati che deforma il sistema rumoroso oltre il superamento della soglia critica, analizziamo il comportamento di ridimensionamento della lunghezza del tempo transitorio con la distanza dalla soglia, Pertanto, definiamo ε come un parametro che misura la distanza dalla soglia critica A 1 c , ovvero ε = A 1 c - A. Quindi, in funzione di questa distanza ε , misuriamo il tempo transitorio, τ ( ε ), affinché le traiettorie raggiungano il restante ciclo limite stabile (giallo). Per queste traiettorie, scegliamo un insieme di condizioni iniziali nella regione dello spazio degli stati precedentemente occupata dal bacino di attrazione del ciclo limite S 2 (blu) distrutto in F 1 . In Fig. 5, mostriamo i risultati per un insieme di 300 condizioni iniziali casuali per ogni distanza ε . Troviamo il tempo che le traiettorie impiegano per lasciare le scale del canale come una legge di potere con la distanza ε . L'esponente caratteristico è uguale a 0, 5, e quindi corrisponde al valore noto dall'intermittenza di tipo I 42, 43 . Quindi, il tempo caratteristico τ ( ε ) ci consente di quantificare l'influenza del canale nell'evoluzione temporale delle traiettorie in funzione della distanza del parametro ε .

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Le croci rappresentano i risultati numerici e la linea retta nera si adatta perfettamente.

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Questa uguaglianza verifica che le traiettorie che iniziano nell'ex bacino di attrazione del ciclo limite distrutto nella biforcazione della piega siano di fatto intrappolate nel canale associato a questa biforcazione per un tempo caratteristico, τ ( ε ). Al fine di ottenere il comportamento a torsione delle traiettorie proprio durante il tempo intrappolato nel canale, introduciamo una versione a tempo finito del numero di avvolgimento (FTWN) rappresentato da 〈 w ( t, ε )〉. Una descrizione completa di questa definizione è fornita nella sezione Metodi. Nel diagramma mostrato in Fig. 6, il codice colore indica l'FTWN dato da 〈 w ( t, ε )〉, nell'asse y rappresentiamo l'evoluzione del tempo, t , in unità del periodo di forzatura, mentre in l'asse x mostriamo la distanza ε dal punto di biforcazione. La linea rossa rappresenta la funzione τ ( ε ) ottenuta dalla regolazione in Fig. 5 per il tempo caratteristico di attraversamento del canale da parte delle traiettorie. Osserviamo che indipendentemente dalla distanza del parametro ε , il numero di avvolgimento a tempo finito ha un valore definito pari a 7, 0 (blu in Fig. 6) per tempi inferiori al corrispondente τ ( ε ). Quindi, dalla Fig. 6, concludiamo che le traiettorie post-ribaltamento, mentre attraversano il canale, conservano il comportamento a torsione (proprietà di rotazione) del ciclo limite stabile distrutto nel punto di ribaltamento.

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La scala dei colori rappresenta i numeri di avvolgimento a tempo finito 〈 w ( t, ε )〉. La linea rossa indica la funzione della legge del potere, τ ( ε ) = 3, 75 ε −0, 5, regolata in Fig. 5 per il tempo impiegato dalle traiettorie per attraversare il canale.

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Di seguito, confermiamo l'esistenza del comportamento a torsione residua del ciclo limite distrutto ottenendo l'FTWN di insiemi di condizioni iniziali che attraversano il canale. Innanzitutto, scegliamo il parametro A in modo tale che la dinamica avrà luogo nel canale, ovvero A 1 c meno una piccola distanza ε = 0, 0095, quindi calcoliamo l'FTWN durante il tempo τ (0, 0095) = 33, 34 ( T ) per un griglia di condizioni iniziali. Attribuendo colori diversi all'FTWN ottenuto per le traiettorie corrispondenti a ciascuna condizione iniziale, distinguiamo chiaramente, nella griglia di Fig. 7 (a), due tipi di comportamento dinamico. (i) l'FTWN corrispondente alle traiettorie che attraversano il canale (condizioni iniziali in blu, torsione rapida) e (ii) le traiettorie che convergono direttamente allo stato stabile rimanente (condizioni iniziali in giallo, torsione lenta). Al fine di confrontare le proprietà di torsione del canale, misurate da FTWN, con il comportamento di torsione attorno agli stati stabili nella regione bistabile, caratterizziamo la torsione intorno ai due stati stabili, S 1 e S 2, dal numero di avvolgimento generalizzato asintotico (GWN). La Figura 7 (b) mostra le proprietà di torsione delle traiettorie che iniziano sulla stessa griglia della Figura 7 (a) ma calcolate dall'asintotico (GWN) per un'ampiezza di forzatura A prima del ribaltamento. Notiamo la somiglianza tra la torsione delle traiettorie che attraversano il canale oltre il ribaltamento (blu in Fig. 7 (a)) e attorno allo stato stabile prima del ribaltamento (blu in Fig. 7 (b)).

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( a ) Set di condizioni iniziali che portano al canale dinamico (blu) e ad uno stato stabile (giallo), la scala dei colori indica la FTWN delle traiettorie corrispondenti a ciascuna condizione iniziale. I parametri di sistema sono fissi in d = 0, 3, ω = 0, 5 e A = 17, 22. Il tempo utilizzato per calcolare l'FTWN è fissato a τ (0, 0095) = 33, 34 ( T ). ( b ) Numero di avvolgimento asintotico generalizzato (GWN) per il parametro A = 17.30 (regione bistabile). La GWN viene calcolata per le stesse serie di condizioni iniziali di ( a ).

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Per illustrare ulteriormente che le osservazioni delle traiettorie del sistema sono insufficienti per determinare se il sistema è bistabile (pre-ribaltamento) o ha un canale dinamico (post-ribaltamento), mostriamo in Figura 8 (a) l'evoluzione temporale di una traiettoria di il rumore dell'oscillatore di Duffing come parametro A aumenta con il tempo nello stesso intervallo di Fig. 8 (a). Notiamo che, anche dopo che il ciclo limite S 2 contrassegnato in blu scompare in F 1, la traiettoria rumorosa (linea nera) continua a sfarfallare nella regione dello spazio degli stati precedentemente occupata dal ciclo limite estinto attorno

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. Ciò diventa ancora più ovvio quando si confrontano due traiettorie rumorose con forzature fisse ad un'ampiezza A nella regione bistabile (pre-ribaltamento) con una traiettoria con un'ampiezza forzante oltre il punto di ribaltamento (linea rossa nella Figura 8 (a). senso statistico queste due traiettorie sono indistinguibili, indicando che il comportamento pre-ribaltamento e post-ribaltamento sono molto simili, con sfarfallio tra due regioni distinte dello spazio degli stati di S 1 e S 2 o il "fantasma" di S 2 rispettivamente.

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( a ) La linea nera indica l'evoluzione temporale della traiettoria rumorosa con il parametro A che varia secondo il diagramma di biforcazione come mostrato. Gli altri parametri sono impostati in d = 0, 3, ω = 0, 5 e l'intensità del rumore fissata a σ = 0, 025. ( b ) Nella parte superiore è l'evoluzione temporale della traiettoria perturbata per il parametro A fissata alle 17.30 (linea verde in ( a )). Le linee gialle e blu rappresentano la posizione di ciascun ciclo limite stabile nella regione di pre-ribaltamento. In fondo è l'evoluzione temporale della traiettoria rumorosa per il parametro A fissato a 17, 22, (linea rossa in ( a )). La linea rossa nel pannello inferiore rappresenta la posizione del canale dello spazio degli stati visitato dalla traiettoria rumorosa.

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Di conseguenza, le serie temporali come finestra principale per le osservazioni in natura, mostrerebbero il fenomeno dello sfarfallio prima e oltre i punti di ribaltamento, facendo apparire la transizione nei dati osservati invece che brusca. Al fine di verificare questa affermazione, indaghiamo gli intervalli di tempo, θ , che una traiettoria rumorosa trascorre nelle vicinanze dello stato stabile (prima del punto di ribaltamento) e nel canale (oltre il punto di ribaltamento). L'idea alla base di questo studio è di estendere la nozione di tempi di fuga per caratterizzare le dinamiche oltre il punto di non ritorno. Nei sistemi bistabili di solito si calcola il tempo medio di fuga o il tempo medio di primo passaggio per identificare la stabilità di ogni stato stabile in senso stocastico. Mentre per i sistemi che possiedono un doppio potenziale di pozzo, è possibile calcolare analiticamente questi tempi di fuga 45, si deve fare affidamento su stime numeriche per sistemi multistabili arbitrari 35 . Sebbene la stragrande maggioranza dei sistemi dinamici non lineari non possieda un potenziale, il ridimensionamento dei tassi di fuga rimane valido. Nello specifico, in Fig. 9, otteniamo la distribuzione degli intervalli di tempo trascorsi dalle traiettorie nel vicinato degli stati stabili e nel canale. L'intervallo di tempo, θ è anche espresso in unità del periodo della forzatura T.

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( a ) I rettangoli neri indicano la distribuzione di intervalli di tempo normalizzati, θ , che una traiettoria trascorre attorno a uno stato stabile. La riga completa indica la distribuzione esponenziale per cui il PDF normalizzato è rappresentato da F ( θ, μ ). I parametri del modello sono impostati su d = 0, 3, ω = 0, 5 e A = 17, 30. Il livello di rumore è σ = 0, 025. Il valore medio del PDF è μ = 9.60. ( b ) I parametri di sistema del precedente, ad eccezione del parametro A fissato su A = 17, 22 corrispondente alla regione del canale. In questo caso, il valore medio dei dati è μ = 6.25. ( c ) Gli intervalli di tempo, θ , in funzione del parametro di sistema A. Il codice colore indica la sua densità di probabilità. La linea rossa indica il parametro A 1 c corrispondente al punto di ribaltamento.

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In particolare, mostriamo in Fig. 9 le distribuzioni degli intervalli di tempo trascorsi dalle traiettorie in prossimità del ciclo limite stabile S 2 che si estinguerà nel punto di ribaltamento (Fig. 9 (a)) con la distribuzione di quegli intervalli di tempo trascorso in prossimità del "fantasma" di S 2 oltre il punto di ribaltamento (Fig. 9 (b)). Entrambe le distribuzioni sono distribuzioni esponenziali, in modo che la funzione di densità di probabilità possa essere approssimata da

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dove μ = 〈 θ 〉> 0 è il valore medio della distribuzione. Mentre nella regione dei parametri bistabili il tempo medio trascorso vicino al ciclo limite S 2 è 〈 θ 〉 ≈ 10 periodi della forzatura, è solo leggermente più breve (〈 θ 〉 ≈ 6 periodi della forzatura) oltre il punto di ribaltamento. Tuttavia, la funzione di densità per la dinamica vicino al canale è più stretta e superiore rispetto alla regione bistabile, indicando che gli intervalli di tempo più brevi sono più frequenti. Quindi, anche per il parametro A inferiore ad A 1 c (oltre il punto di ribaltamento), la frequenza con cui le traiettorie visitano il vicinato dello stato estinto non è zero, cioè il fenomeno dello sfarfallio si verifica ancora dopo il punto di ribaltamento. Significa che anche dopo l'estinzione del ciclo limite in A 1 c , il canale dello spazio degli stati continua a trattenere le traiettorie, evitando la loro brusca transizione definitiva allo stato unico di sopravvivenza stabile.

Per sottolineare che, le caratteristiche della dinamica cambiano in modo regolare e non brusco quando si attraversa il punto di ribaltamento, mostriamo in Fig. 9 (c) i cambiamenti nella funzione di distribuzione quando si riduce la forzatura A dalla regione bistabile a quella monostabile. In questa figura, il codice colore indica le densità di probabilità per ciascun parametro A mostrato nell'asse x . Osserviamo che la distribuzione degli intervalli di tempo cambia senza problemi quando il punto di ribaltamento viene avvicinato e superato, indicando che non vi è alcuna transizione brusca che attraversi la soglia. Tuttavia, quando il parametro A viene passato attraverso il punto di ribaltamento, si osserva un aumento considerevole della densità dei valori dell'intervallo di tempo attorno al valore previsto, rendendo la distribuzione più stretta per i parametri ben oltre il punto di ribaltamento.

Discussione

In sintesi, ci occupiamo dei punti di non ritorno dei sistemi soggetti a forzature esterne periodiche. Le soluzioni asintotiche di questa classe di sistemi si insediano intrinsecamente in stati stabili oscillanti (cicli limite), una dinamica più complessa rispetto agli stati stabili stabili (equilibri) per i quali i punti di ribaltamento sono stati ampiamente studiati. In natura, gli eventi più evidenti di tali attrattori oscillanti si trovano nell'ecologia e nelle scienze del clima in cui le variabilità periodiche e quasi periodiche derivano da fattori esterni come la stagionalità e la forzatura astronomica. Qui, per un generico sistema periodicamente forzato che genera tali oscillazioni, consideriamo il tipico scenario isteretico per studiare i punti di ribaltamento, vale a dire, una regione di parametri bistabili in cui il ribaltamento è rappresentato da biforcazioni di piega dei cicli limite piuttosto che da stati stazionari. Man mano che i parametri vengono variati e il sistema raggiunge una piega biforcata, in cui un ciclo limite stabile viene distrutto lasciando una struttura transitoria, un cosiddetto canale, nello spazio degli stati del sistema. Quindi, per parametri oltre questo punto di non ritorno, il canale dà origine a una dinamica a breve termine che possiede proprietà simili al ciclo limite distrutto e può quindi essere attribuita a un "fantasma" di quest'ultimo. Scopriamo che una proprietà dinamica residua del ciclo limite distrutto nel punto di ribaltamento, vale a dire il suo comportamento a torsione, si verifica nella dinamica a breve termine dei parametri nella regione post-ribaltamento. Questa scoperta indica che il comportamento a breve termine porta informazioni dinamiche sullo stato stabile oscillante distrutto.

Per i parametri di sistema fissati nella regione post-ribaltamento, otteniamo l'evoluzione temporale del sistema soggetto a un rumore stocastico. Con questo, mostriamo che l'attrattore “fantasma” mantiene le traiettorie dei sistemi in modo molto simile al ciclo limite stabile distrutto nel punto di ribaltamento. Inoltre, ottenendo le statistiche degli intervalli di tempo che le traiettorie del rumore trascorrono nelle vicinanze del ciclo limite stabile e nelle vicinanze del "fantasma", scopriamo che i PDF dei tempi di attesa in entrambe le regioni hanno lo stesso profilo esponenziale e non differiscono molto nei valori previsti. Pertanto, la dinamica del "fantasma" svolge un ruolo essenziale nell'attenuare la transizione critica in modo tale che possa essere vista come una transizione regolare quando si cerca di diagnosticare i dati del mondo reale. Pertanto, nessuno dei metodi noti come la funzione di autocorrelazione, la varianza o lo sfarfallio sono adatti per identificare correttamente questa particolare transizione. L'emergere del "fantasma" maschera la transizione fino a quando il sistema è ben oltre il punto di ribaltamento e lo fa apparire liscio anziché catastrofico. Infine, vorremmo notare che, nonostante la nostra scelta di trattare con sistemi periodicamente forzati a causa della loro importanza per i sistemi ecologici e climatici, lo stato "fantasma" che maschera la transizione critica dovrebbe essere osservato anche in regioni parametriche che riescono a piegare biforcazioni di limite cicli in sistemi autonomi.

metodi

Sezione Poincaré

Considerando i sistemi i cui comportamenti asintotici sono cicli limite , le dinamiche finali sono oscillazioni piuttosto che equilibri. L'analisi della biforcazione viene eseguita definendo una sezione di Poincaré, che di solito è un'iper-superficie disposta trasversalmente al ciclo limite, in cui l'intera dinamica del sistema è descritta da un sistema discreto. Lasciare f essere la funzione che descrive le intersezioni del ciclo limite con la sezione, per traiettorie nello spazio tridimensionale, risulta che

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, dove x 1 n , x 2 n sono le coordinate dell'ennesimo incrocio. Di conseguenza, sulla superficie della sezione, i cicli limite sono rappresentati da punti fissi di f . Quindi, gli stati, come mostrato nei diagrammi di biforcazione come quello della Fig. 1, sono definiti nella superficie della sezione e nel caso in cui la sezione sia scelta come piano, sono indicati dalle coordinate del piano ( x 1, x 2 ) .

Per l'oscillatore di Duffing descritto dall'Eq. (1), una sezione di Poincaré adatta è il cosiddetto T- shift. La dinamica sopra la sezione è rappresentata da variabili discrete (

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, x ( nT )) definita come coppia di soluzioni (

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, x ) raccolti ogni periodo, T = 2 π / ω .

Piega la biforcazione dei cicli limite e il canale dello spazio degli stati

In caso di cicli limite, si verifica una configurazione bistabile rischiosa quando due cicli limite stabili coesistono con un ciclo instabile di tipo a sella . L'emergere di un canale dinamico in questo scenario può essere descritto in una sezione di Poincaré adatta. Mostriamo in Fig. 10 (a) che i cicli limite stabili producono due punti fissi del tipo di nodo, S 1 e S 2 nella superficie della sezione, mentre il ciclo limite instabile genera un punto fisso di tipo a sella . Il collettore stabile della sella separa le condizioni iniziali attratte da ciascun nodo (blu e rosso in Fig. 10 (a)). Poiché i parametri di controllo vengono variati avvicinandosi alla biforcazione della piega che delimita la regione di bistabilità, come F 1 e F 2 in Fig. 1, uno dei punti fissi del nodo si avvicina alla sella. Quando il sistema è impostato sui parametri nel punto di biforcazione della piega, ad esempio, il nodo S 2 e la sella si scontrano, ed entrambi scompaiono formando un punto fisso ellittico indicato da E nella Figura 10 (b). Per i parametri post-biforcazione, lo schema della sezione Poincaré è mostrato in Fig. 10 (c), il nodo e la sella non esistono più nella sezione Poincaré. Tuttavia, le traiettorie che iniziano nella regione dello stato spaziale, che era il bacino di attrazione del nodo distrutto S 2, convergono nel nodo rimanente ma non prima di essere attratte dalla varietà stabile del punto ellittico instabile. In effetti, la traiettoria del sistema si comporta come se esistesse un canale che vincola la traiettoria e la conduce allo stato stabile rimanente.

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( a ) Due punti fissi del tipo di nodo ( S 1 e S 2 ) coesistono con una sella. Le linee nere indicano come le condizioni iniziali si comportano dinamicamente in prossimità dei punti fissi. I colori indicano il dominio di attrazione di ciascun nodo. ( b ) Quando un parametro di sistema viene variato, il nodo S 2 e la sella si scontrano formando un punto ellittico E (nodo a sella o biforcazione piega). ( c ) Mentre il parametro attraversa il parametro critico della biforcazione, le condizioni iniziali che appartenevano al dominio di attrazione del nodo estinto S 2 ora stanno convergendo al nodo S 1 attraverso un canale formato nel piano.

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La comparsa di questi canali dinamici relativi alle biforcazioni di piega dei cicli limite è stata discussa per la prima volta da Pomeau e Manneville ed è stato ritenuto il meccanismo responsabile della fase laminare nello scenario di intermittenza di tipo I 42, 43, 46 . Tuttavia, nell'intermittenza di tipo I , le esplosioni caotiche reiniettano la traiettoria nel canale dinamico. La traiettoria impiega lunghi intervalli di tempo per attraversare il canale (la fase laminare) alla fine sfuggendo alla regione spaziale della fase caotica, producendo un altro scoppio caotico. In questo lavoro, non esiste un processo caotico per reiniettare la traiettoria nel canale, quindi introduciamo un rumore gaussiano che reimposta la traiettoria su una configurazione casuale appartenente al bacino di attrazione dello stato stabile estinto nella piega biforcazione. Questa procedura espelle successivamente la traiettoria al di fuori dello stato stabile di sopravvivenza, costringendolo ad attraversare successivamente il canale lungo la sua evoluzione temporale. Indipendentemente dal meccanismo utilizzato per reiniettare la traiettoria attraverso il canale, il tempo impiegato dalle traiettorie per attraversare dipende dalla distanza ε dalla biforcazione della piega come rif 42, 43 e 46:

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Numero di avvolgimento a tempo finito (FTWN)

In generale, lo spazio degli stati nelle vicinanze di un ciclo limite è influenzato dalla sua presenza, comunemente, il ciclo limite induce una torsione nel suo spazio vicino. Questa torsione può essere quantificata calcolando il cosiddetto Generalized Winding Number (GWN). Dato un ciclo limite γ dell'oscillatore di duffing descritto dall'Eq. (1), la GWN di γ può essere ottenuta calcolando la frequenza media Ω della torsione che una traiettoria vicina γ ′ esegue intorno a γ 47, 48 . Definendo α ( t ) come angolo tra γ e γ ′ sopra la sezione T -shift Poincaré, la frequenza è data da:

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E, la GWN è ref. 47:

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dove ω è la frequenza della forzatura in Eq. (1). Quindi, le Eq (4) e (5) ci consentono di calcolare la GWN dei due stati stabili coesistenti della regione bistabile (tra A 1 c e A 2 c in Fig. 2). Per ogni stato stabile è possibile calcolare un GWN considerando insiemi di condizioni iniziali appartenenti al bacino di attrazione di ciascuno stato. Poiché questi stati sono attrattori, le traiettorie vanno naturalmente in prossimità dei cicli limite stabili, fornendo una GWN basata sulle proprietà locali dei cicli limite.

Si noti che l'Eq. (4) è definito per un tempo infinitamente lungo, in modo tale che il contributo principale alla frequenza di torsione media Ω provenga dalle rotazioni dello stato asintotico stabile. Quindi, per ottenere le proprietà di torsione delle strutture transitorie, l'Eq. (4) deve essere riformulato in una versione a tempo finito. Quindi, definiamo una frequenza di torsione a tempo finito come:

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Per le traiettorie a breve termine dobbiamo considerare possibili deviazioni nel numero di avvolgimenti a tempo finito per le diverse condizioni iniziali. Quindi, prendiamo una media su un insieme di condizioni iniziali, risultando nella seguente definizione per i numeri di avvolgimento a tempo finito:

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dove le parentesi indicano la media sull'insieme di traiettorie. Finché il tempo per attraversare il canale, τ , è una funzione della distanza del parametro ε , rappresentiamo il numero di avvolgimento a tempo finito come 〈 w ( t, ε )〉, cioè anche una funzione di ε anziché solo t .

Informazioni aggiuntive

Come citare questo articolo: Medeiros, ES et al . Il fenomeno di intrappolamento attenua le conseguenze dei punti di ribaltamento per i cicli limite. Sci. Rep. 7, 42351; doi: 10.1038 / srep42351 (2017).

Nota dell'editore: Springer Nature rimane neutrale per quanto riguarda le rivendicazioni giurisdizionali nelle mappe pubblicate e nelle affiliazioni istituzionali.

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